تدریس خصوصی ریاضی در تهران و کرج

اثبات اول که بینهایت از اعداد اول بصورت جفت می‌آیند

ریاضیدانی مدعی دستیابی به موفقیت در جهت حل مسئله‌ای چندصد ساله است.

مگی مک‌کی

14 مه 2013

کمبریج، ماساچوست

این نتیجه‌ای است که فقط یک ریاضیدان می‌تواند دوست داشته باشد.

پژوهشگرانی که دیر زمانی امیدوار بودند "2" جوابی برای اثبات حدسی شامل جفت‌هاي اعداد اول باشد این حقیقت را جشن گرفته‌اند که ریاضیدانی جواب را از بینهایت به 70 میلیون کاهش داده است.

«این جواب فقط (فاکتوری از) 35 میلیون دور» از هدف است، دان گلدستون(Dan Goldstone)، یک نظریه‌پرداز اعداد تحلیلی در دانشگاه سن جوز استیت(San Jose State University) در کالیفورنیا که در این کار درگیر نبوده است، به کنايه می‌گوید. «هر گامی رو به پایین گامی در جهت پاسخ نهایی است.»

هدف اثبات حدسی در رابطه با اعداد اول است. اعداد اول اعدادی هستند که فقط بر خودشان و یک بخش‌پذیرند. اعداد اول در میان اعداد کوچکتر به وفور یافت می‌شوند، اما هرچه به سمت اعداد بزرگتز می‌رویم تعداد آنها کمتر و کمتر می‌شود. در واقع، فاصله بین هر عدد اول و عدد اول بعد از آن ـ در میانگین (بطور متوسط) ـ بزرگتر و بزرگتر می‌شود. اما استثناهایی هم وجود دارند: "اعداد اول دوقلو"، که جفت اعداد اولی هستند که اختلافشان برابر 2 است، مانند 3 و 5، یا 17 و 19، یا 2,003,663,613 × 2195,000 − 1 و 2,003,663,613 × 2195,000 + 1.

حدس اعداد اول دوقلو می‌گوید تعداد جفت اعداد اول دوقلو بینهایت است. بعضی این حدس را به ریاضیدان یونانی اقلیدس اسکندریه نسبت می‌دهند، که این حدس را به یکی از قدیمی‌ترین مسائل باز ریاضیات تبدیل می‌کند.

این مسئله همه تلاش‌ها برای یافتن پاسخ را پشت سر گذاشته است. نقطه عطف بزرگی در سال 2005 بدست آمد وقتی که گلدستون و دو تن از همکارانش نشان دادند که تعداد بینهایت از جفت اعداد اول وجود دارند که اختلافشان از 16 بیشتر نیست (مرجع 1). ولی مشکلی وجود داشت. «آن‌ها حدسی را فرض کرده بودند (از حدسی استفاده کرده بودند) که هیچ‌کس اثبات آن را نمی‌دانست،» دوریان گلدفلد(Dorian Goldfeld)، نظریه‌پرداز اعداد از دانشگاه کلمبیا در نیویورک، می‌گوید.

دستاورد جدید، از ییتانگ ژنگ(Yitang Zhang) از دانشگاه همپشیر(Hampshire) در درهام، بدون استفاده از (اتکا به) حدس‌های اثبات نشده یافته است که بینهایت جفت اعداد اول وجود دارند که اختلافشان از 70 میلیون واحد کمتر است. اگرچه 70 میلیون عدد خیلی بزرگی به نظر می‌رسد، وجود هر کران متناهی، هرچقدر هم که بزرگ باشد، به این معنی است که فاصله بین اعداد اول متوالی برای همیشه زیاد نمی‌شود. پرش از 2 به 70 میلیون در مقایسه با پرش از 70 میلیون به بینهایت هیچ است. گلدفلد می‌گوید: «اگر این درست باشد، من کاملا شگفت زده‌ام.»

ژنگ تحقیقات خود را در 13 مه در حضور چند ده مخاطب از دانشگاه هاروارد در کمبریج، ماساچوست، ارائه داد، و این حقیقت که به نظر می‌رسید در کارش از تکنیک‌های استاندارد ریاضی استفاده کرده است برای بعضی مخاطبان این سوال را بوجود آورد که آیا ژنگ واقعا موفق شده است جایی که دیگران شکست خورده‌اند.

اما گزارش یکی از داوران سالانه ریاضیات(Annals of Mathematics) ، که ژنگ مقاله‌اش را به آن فرستاده بود، اظهار می‌کند که او توانسته است. «نتایج اصلی از رتبه اول هستند،» گزارش بیان می‌کند، که کپی آن را ژنگ برای Nature فرستاده است. «نویسنده موفق شده است قضیه‌ای واقعا برجسته در توزیع اعداد اول را ثابت کند ... ما بسیار خوشحالیم که به شدت پذیرش مقاله را برای چاپ در سالانه توصیه کنیم.»

گلدستون، که کپی مقاله را فرستاده بود، می‌گوید او ودیگر پژوهشگران که مقاله را دیده‌اند درباره‌ آن « احساس خیلی خوبی دارند.» او اضافه می‌کند «هیچ اشتباه واضحی وجود ندارد.»

به نوبه خود، ژنگ، که از وقتی بینش کلیدی هنگام دیدار دوستش در جولای گذشته به ذهنش خطور کرد، می‌گوید که انتظار دارد دستگاه ریاضی مقاله اجازه دهد که مقدار 70 میلیون را کاهش دهند. او می‌گوید: «ممکن است کمترش کنیم.»

گلدستون فکر نمی‌کند که این مقدار را بتوان تا 2 کاهش داد تا حدس اعداد اول دوقلو ثابت شود. ولی او این حقیقت را بیان می‌کند که همین‌که بالاخره یک عددی وجود دارد موفقیت بزرگی است. او می‌گوید: «من شک داشتم که زنده باشم و این نتیجه را ببینم.» ژنگ مقاله خود را، با اندکی ترفند، این هفته منتشر می‌کند.

Nature| doi:10.1038/nature.2013.12989

منبع : (Goldston, D. A., Pintz, J. & Yıldırım, C. Y. Ann. Math. 170, 819–862 (2009

http://www.nature.com/news/first-proof-that-infinitely-many-prime-numbers-come-in-pairs-1.12989